കേള്‍ക്കുമ്പോള്‍ എന്താണെന്ന് വ്യക്തമാകാത്തതും എന്നാല്‍, ജീവിതത്തിലുടനീളം ഉപയോഗിക്കുന്നതുമായ ഒരു ഗണിതശാഖയാണ് ബീജഗണിതം (Algebra). നമ്മുടെ സര്‍ക്കാര്‍ X രൂപ വരുമാനത്തിന് Y രൂപ നികുതി കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ വിചിത്രമായ രീതിയിലാണ്. അത്രമാത്രം ബീജഗണിതത്തിന്റെ അതിപ്രസരമാണ് അതില്‍; സാധാരണക്കാര്‍ക്ക് മനസ്സിലാവാത്ത തരം ഭാഷ. അതുകൊണ്ടായിരിക്കാം ഹെര്‍മാന്‍ വെയ്ല്‍സ് ബീജഗണിതത്തിന് 'ഗണിതകുടുംബത്തിലെ പിശാച്' എന്നു വിശേഷണം നല്‍കിയത്.

To advertise here,

ബീജഗണിതത്തിന് മനുഷ്യസംസ്‌കാരത്തോളം പഴക്കമുണ്ട്. മനഃശിക്ഷണത്തിനുവേണ്ടി ആര്‍ക്കിമിഡീസ് അവതരിപ്പിച്ച ഏതാനും പ്രശ്‌നങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ചിന്തകള്‍ വളര്‍ന്ന് ജീവിതത്തിന്റെ സര്‍വമേഖലകളെയും സ്വാധീനിക്കുന്ന ഒരു ശാസ്ത്രമായി വളരുകയായിരുന്നു. ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെ ചില ചോദ്യങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനിടയില്‍ അലക്‌സാണ്ട്രിയന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഡയൊഫാന്‍സ് ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങള്‍ക്ക് രൂപംനല്‍കി. അവ 'ഡയൊഫാന്റെന്‍ സമവാക്യങ്ങള്‍' എന്നപേരിലറിയപ്പെട്ടു. എന്നാല്‍, ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഏറെ പഠനം നടത്തിയത് ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍, ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍, ഭാസ്‌കരാചാര്യര്‍ എന്നിവരുടെ പേരുകള്‍ പ്രത്യേകം സ്മരണീയമാണ്. ഭാരതത്തില്‍ നിലനിന്നിരുന്ന ബീജഗണിത ആശയങ്ങളാണ് പില്‍ക്കാലത്ത് അറേബ്യയിലൂടെ പാശ്ചാത്യലോകത്ത് എത്തിച്ചേര്‍ന്നത്.

അല്‍-ജബര്‍

ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാവ് എന്നറിയപ്പെടുന്ന മുഹമ്മദ് ഇബിന്‍ മൂസ-അല്‍ ഖവരാസ്മിയുടെ 'അല്‍-ജബര്‍' എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ ബീജഗണിത ആശയങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിശദമായി പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ട്. അല്‍-ജബര്‍ ലാറ്റിന്‍ ഭാഷയിലേക്ക് പരിഭാഷപ്പെടുത്തിയപ്പോള്‍ ALGEBRA ആയി. അലക്കാത്ത് ഇന്നുകാണുന്ന രീതിയിലുള്ള ചരങ്ങളൊന്നും നിലവിലുണ്ടായിരുന്നില്ല. ചരങ്ങള്‍ ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത് ഫ്രഞ്ച് ഗണിതജ്ഞനായ ഫ്രാന്‍സിസ് വിയറ്റായിരുന്നു. എന്നാല്‍, ചിഹ്നങ്ങള്‍ക്കുപകരം അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങിയത് റെനെ ഡെക്കാര്‍ത്തയാണ്. അദ്ദേഹമാണ് ബീജഗണിതത്തെയും ജ്യാമിതിയെയും സമന്വയിപ്പിച്ച് ഒരു പുതിയ ഗണിതശാഖയ്ക്ക് രൂപംനല്‍കിയത്.

എന്താണ് ബീജഗണിതം

സാമാന്യവത്കരിച്ച അങ്കഗണിതമാണെന്നുപറയാം. 4 എന്ന സംഖ്യ പറയുമ്പോള്‍ അത്രയും സാധനങ്ങള്‍ എടുത്തുവെച്ച് ആശയം അനുഭവയോഗ്യമാക്കാം. എന്നാല്‍, ഏതുസംഖ്യക്കും പകരമായ ഒരുസംഖ്യ X എന്നുപറയുമ്പോള്‍ അതു സാമാന്യവത്കരിക്കപ്പെട്ടു. മറ്റൊരു സന്ദര്‍ഭം നോക്കാം. ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളം 10-ഉം വീതി 7-ഉം ആയാല്‍ വിസ്തീര്‍ണം 10-നെ 7 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാണ്. ഈ ആശയം സാമാന്യവത്കരിച്ചാല്‍ ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും ഗുണനഫലമാണ്. ഇതു ചിഹ്നമുപയോഗിച്ച് A=lb എന്നെഴുതാം. ഇപ്പോള്‍ ആശയം സാമാന്യരൂപത്തിലാണ്. പരസ്പരബന്ധമുള്ള ആശയങ്ങളെ പലപ്പോഴും സാമാന്യവത്കരിക്കാറുണ്ട് ഉദാഹരണമായി 1x2, 2x3, 3x4,... എന്ന ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരുപദം വേണമെന്നിരിക്കട്ടെ. ഇവിടെ തന്നിട്ടുള്ള വസ്തുതകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ഒരു അപഗ്രഥനം ആവശ്യമാണ്. ഓരോ പദത്തിലും രണ്ടു സംഖ്യകള്‍ വീതമുണ്ട്. ഒന്നാമത്തേതില്‍ ആദ്യ സംഖ്യ 1, രണ്ടാമത്തേതില്‍ ആദ്യ സംഖ്യ 2, മൂന്നാമത്തേതില്‍ 3 എന്നിങ്ങനെയാണ്. എങ്കില്‍ പത്താമത്തേതില്‍ 10 എന്നും ഇരുപതാമത്തേതില്‍ 20 എന്നും കണ്ടെത്താം. ഇനി രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ ആദ്യത്തേതിനെക്കാള്‍ ഒന്നു കൂടുതലാണ്. അതുകൊണ്ട് പത്താമത്തെ പദം 10x11 ആയിരിക്കും. സാമാന്യവത്കരിച്ചാല്‍ n(n + 1) എന്നുകിട്ടും. ഇപ്പോള്‍ നമുക്ക് ഏതുപദം വേണമെങ്കിലും കണ്ടുപിടിക്കാം. അതുകൊണ്ട് ബീജഗണിതത്തെ സാമാന്യവത്കൃത ഗണിതം എന്നുപറയാം.

ബീജഗണിതത്തിന്റെ വളര്‍ച്ച

ലോകത്തിന്റെ എല്ലാഭാഗത്തും ബീജഗണിതം ആരംഭിച്ചത് സമവാക്യങ്ങളിലൂടെയാണ്. മാനസികോല്ലാസത്തിനുവേണ്ടി ഗണിതപ്രശ്‌നങ്ങള്‍ വാചികമായി കൈമാറുന്ന ഒരുരീതി. ആരംഭഘട്ടത്തില്‍ ബീജഗണിതത്തിന് ഏറെ പ്രായോഗികമൂല്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. ഗണിതം ഗണിതത്തിനുവേണ്ടിമാത്രം എന്നതായിരുന്നു സമീപനം. സമവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ധാരണംചെയ്യുക എന്ന ഒറ്റ ആവശ്യത്തില്‍ ബീജഗണിതത്തെ ഒതുക്കിനിര്‍ത്തി. പില്‍ക്കാലത്ത് ജ്യാമിതിയുടെ നിര്‍ധാരണത്തിന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങി. ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണത്തിന്മേല്‍ നിര്‍മിക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം മറ്റുരണ്ട് വശങ്ങളിന്മേല്‍ നിര്‍മിക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യം എന്ന പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം 'കര്‍ണം2 = പാദം2+ ലംബം2' എന്ന ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റപ്പെട്ടു. ഇതോടൊപ്പം നിര്‍വചനങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനപ്രമാണങ്ങളുടെയും സഹായത്തോടെ ബീജഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ രൂപംകൊണ്ടു.

പ്രായോഗികാവശ്യം

ഇന്ന് ജീവിതത്തിന്റെ സര്‍വമേഖലകളിലും ബീജഗണിതം ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. മറ്റു ശാസ്ത്രശാഖകള്‍, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം, സ്‌പോര്‍ട്‌സ്, ഓഹരിവ്യാപാരം, എന്തിനേറെ സര്‍ക്കാരിന്റെ വാര്‍ഷികപദ്ധതി എന്നിവയിലെല്ലാം ബീജഗണിതത്തിന്റെ സാന്നിധ്യമുണ്ട്. പലപ്പോഴും ബീജഗണിതമാണെന്നറിയാതെ അതുപയോഗിക്കുകയാണ് പതിവ്. നമുക്കുചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍ പരിശോധിക്കാം.

മുട്ടിലിഴയുന്ന ഒരുകുട്ടി ഉരുണ്ടുപോകുന്ന പന്തിന്റെ പിന്നാലെ പോകുമ്പോള്‍ പന്തിന്റെ പാതയും വേഗവും കണക്കാക്കുന്നുണ്ട്. ജീവിതത്തില്‍ ബീജഗണിതം ആദ്യമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഓഫീസില്‍പോകുന്ന ഒരാളിന്റെ കാര്യമെടുക്കാം രാവിലെ കുളിക്കണം, പ്രാതല്‍ കഴിക്കണം, പോകുന്നതിനുമുമ്പായി ചെയ്യേണ്ട കാര്യങ്ങള്‍ ചെയ്തുതീര്‍ക്കണം, ഓഫീസിലേക്ക് യാത്രചെയ്യണം. ഇതിനെല്ലാംവേണ്ട സമയത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു ഏകദേശധാരണ ഉണ്ടായാലല്ലേ എപ്പോള്‍ എഴുന്നേല്‍ക്കണമെന്നു തീരുമാനിക്കാനാകൂ.

ഒരു വീട്ടമ്മയുടെ കാര്യമെടുക്കാം. രാവിലെ ദോശ വേണമെങ്കില്‍ ദോശമാവുവേണം. അതുണ്ടാക്കുന്നതിന് അരിയും ഉഴുന്നും വേണം. ഇതു എങ്ങനെയെങ്കിലും ചേര്‍ത്താല്‍ മതിയോ. ഏതളവില്‍ ചേര്‍ക്കണമെന്നു മുന്‍കൂട്ടി നിശ്ചയിക്കണം. രണ്ടു ഗ്ലാസ് അരിയെടുക്കുമ്പോള്‍ ഒരു ഗ്ലാസ് ഉഴുന്നാണുപയോഗിക്കുന്നത് എന്നുകരുതുക. അടുത്തദിവസം നാല് അതിഥികളുംകൂടി ഉണ്ടെങ്കില്‍ ദോശമാവിന്റെ അളവുകൂട്ടണം. അരിയും ഉഴുന്നും ഏതളവില്‍ വേണമെന്ന് നിശ്ചയിക്കുന്നതിന് അനുപാതത്തെക്കുറിച്ച് എത്രമാത്രം അറിവ് അവര്‍ക്കുണ്ടായിരിക്കണം?

ഷെയര്‍മാര്‍ക്കറ്റാണ് ബീജഗണിതം കൂടുതലായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മറ്റൊരു മേഖല. ഏതെങ്കിലുമൊരു കമ്പനിയുടെ ഷെയര്‍ വാങ്ങുന്ന ഒരാള്‍ കമ്പനിയുടെ കഴിഞ്ഞ ഒരുവര്‍ഷത്തെയെങ്കിലും വിലനിലവാരത്തിന്റെയും കമ്പനിയുടെ ലാഭത്തിന്റെയും ഗ്രാഫ് പരിശോധിച്ചാണ് പണംമുടക്കുന്നത്. ഗ്രാഫുകളെക്കുറിച്ചും അതില്‍വരുന്ന വ്യതിയാനങ്ങളെക്കുറിച്ചും പഠിക്കാത്തവര്‍പോലും ഇതിലുള്‍പ്പെട്ട ആശയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.

സ്‌പോര്‍ട്‌സില്‍ ബീജഗണിതത്തിന്റെ പങ്ക്

ബീജഗണിതം ഏറ്റവുംകൂടുതല്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ക്രിക്കറ്റിലാണ്. റണ്‍ ശരാശരി, പന്തെറിയുന്നതിന്റെ വേഗം, അതിന്റെ ദിശ എന്നിവയെല്ലാം കണക്കാക്കുന്നതിന് ബീജഗണിതത്തിന്റെ സഹായം ഒഴിച്ചുകൂടാത്തതാണ്. അവസാനമായി ഇന്ന് പരക്കെ ഉപയോഗിക്കുന്ന G.P.S (Global Positioning System) എന്ന ഉപകരണം ഡെക്കാര്‍ത്തെയുടെ ജ്യാമിതീയ ബീജഗണിതത്തിന്റെ സന്തതിയാണ്.

(എസ്.സി.ഇ.ആര്‍.ടി. മുന്‍ റിസോഴ്‌സ് പേഴ്‌സണാണ് ലേഖകന്‍)