ഫെര്‍മായെ തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തിനിടെ ഒട്ടേറെ നിര്‍ണായക ഗണിതമുന്നേറ്റങ്ങള്‍ ആന്‍ഡ്രൂ വൈല്‍സ് നടത്തി. തന്റെ പ്രവര്‍ത്തനത്തിന്റെ രഹസ്യസ്വഭാവം കാക്കാനായി അന്തിമ പ്രൂഫ് പുറത്തുവരും വരെ അതൊന്നും വൈല്‍സ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചില്ല

Andrew Wiles, Pierre de Fermat
ഫെര്‍മായും ആന്‍ഡ്രൂ വൈല്‍സും. വൈല്‍സിന്റെ ചിത്രം കടപ്പാട്: Alain Goriely/Mathematical Institute, University of Oxford

 

ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം, xn+yn= zn എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ 'n' ന്റെ മൂല്യം രണ്ടില്‍ കൂടുതലായാല്‍, x, y, z എന്നിവയ്ക്ക് പൂര്‍ണസംഖ്യകളൊന്നും സാധ്യമാകില്ല എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ ആകെ വേണ്ടത് ടാനിയാമ-ഷിമുര നിഗമനം തെളിയിക്കുക മാത്രമാണെന്ന കെന്‍ റിബെറ്റിന്റെ കണ്ടെത്തല്‍ വലിയ ആകാംക്ഷ സൃഷ്ടിച്ചു. 1986 മുതല്‍ ഏഴുവര്‍ഷം നീണ്ട രഹസ്യജീവിതത്തിലേക്ക് ആന്‍ഡ്രൂ വൈല്‍സ് എന്ന ഗണിത പ്രൊഫസറെ തള്ളിവിട്ടത് ആ കണ്ടെത്തലാണ്. 

കേംബ്രിഡ്ജില്‍ ജോണ്‍ കോട്‌സിന് കീഴില്‍ 'എല്ലിപ്റ്റിക് കര്‍വ്‌സ്' എന്ന ഗണിതമേഖലയില്‍ പിഎച്ച്ഡി നേടിയ വൈല്‍സ്, 1980-ല്‍ യു.എസില്‍ പ്രിന്‍സ്റ്റണ്‍ സര്‍വകലാശാലയില്‍ അധ്യാപകനായി ചേര്‍ന്നു. ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് പ്രൂഫ് കണ്ടെത്താന്‍ പത്താമത്തെ വയസ്സില്‍ തോന്നിയ ഭ്രമം അപ്പോഴും വിട്ടുപോയിരുന്നില്ല. തന്റെ കൗമാരപ്രായം മുഴുവന്‍ വൈല്‍സ് നീക്കിവെച്ചത്, 350 വര്‍ഷത്തിനിടെ ഫെര്‍മായോട് ഏറ്റുമുട്ടി പരാജയപ്പെട്ടവരില്‍ നിന്ന് പാഠങ്ങള്‍ പഠിക്കാനാണ്. ഓയ്‌ലര്‍ (Euler), സോഫി ജെര്‍മെയ്ന്‍, ഗബ്രിയേല്‍ ലെയിം, അഗസ്റ്റിന്‍ കേഷി, ഏണസ്റ്റ് കെമ്മര്‍ ഒക്കെ അതില്‍ ഉള്‍പ്പെട്ടു. 

1986-ല്‍ കെന്‍ റിബെറ്റിന്റെ കണ്ടെത്തല്‍ അറിഞ്ഞതോടെ, ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുക എന്ന തന്റെ സ്വപ്‌നം സാക്ഷാത്ക്കരിക്കാന്‍ സമയമായി എന്ന് വൈല്‍സിന് ബോധ്യപ്പെട്ടു. താന്‍ ഇങ്ങനെയൊരു ദൗത്യത്തില്‍ ഏര്‍പ്പെട്ടിരിക്കുന്ന കാര്യം പുറത്താരും അറിയാന്‍ പാടില്ലെന്ന് വൈല്‍സ് തീരുമാനിച്ചു. ആ ദൗത്യവുമായി നേരിട്ടു ബന്ധമില്ലാത്ത എല്ലാ സംഗതികളും, എന്തിന് ഗണിതസമ്മേളനങ്ങളില്‍ പങ്കെടുക്കുന്നതു പോലും ഒഴിവാക്കി. 

1980 മുതല്‍ ഒരു പ്രത്യേകതരം എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ പറ്റി ആഴത്തില്‍ പഠിക്കുകയായിരുന്നു വൈല്‍സ്. ആ പഠനം പൂര്‍ണരൂപത്തില്‍ നല്‍കാതെ, ഓരോ ആറുമാസം കൂടുമ്പോഴും ഏതെങ്കിലും ഗണിതജേര്‍ണലില്‍ ഓരോ ഭാഗങ്ങളായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. സഹപ്രവര്‍ത്തകരെ തെറ്റിദ്ധരിപ്പിക്കാനായിരുന്നു അത്. വൈല്‍സ് തന്റെ പതിവു ഗവേഷണത്തിലാണെന്ന് സഹപ്രവര്‍ത്തകരും സുഹൃത്തുക്കളും കരുതി. വൈല്‍സ് എന്താണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് അറിയാമായിരുന്ന ഏകവ്യക്തി ഭാര്യ നാദയായിരുന്നു. ഗവേഷണം ആരംഭിച്ച ശേഷമായിരുന്നു ഇരുവരുടെയും വിവാഹം. മധുവിധു കാലത്ത് നാദയോട് അദ്ദേഹം രഹസ്യം പങ്കുവെച്ചു-താന്‍ ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തിലാണ്!

തുടര്‍ന്നുള്ള വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഫെര്‍മായെ തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തിനിടെ ഒട്ടേറെ ഗണിതമുന്നേറ്റങ്ങള്‍ വൈല്‍സ് നടത്തി. അവയില്‍ പലതും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ കിടയറ്റ കണ്ടുപിടുത്തങ്ങളായിരുന്നു, സ്വന്തംനിലയ്ക്ക് പ്രസിദ്ധീകരിക്കാവുന്നവ. തന്റെ പ്രവര്‍ത്തനത്തിന്റെ രഹസ്യസ്വഭാവം കാക്കാനായി അവസാന പ്രൂഫ് പുറത്തുവരും വരെ അതൊന്നും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചില്ല!

ടാനിയാമ-ഷിമുര നിഗമനം തെളിയിക്കുകയാണ് ലക്ഷ്യം, അതുവഴി ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെടും. യുദ്ധത്തിന് ആയുധങ്ങള്‍ സ്വരുക്കൂട്ടുന്നതിന് സമാനമായ ഒരുക്കമാണ് വൈല്‍സ് നടത്തിയത്. സമീപകാലത്ത് പുറത്തുവന്ന ഗണിതപ്രബന്ധങ്ങള്‍ മുഴുവന്‍ അരിച്ചുപെറുക്കി പുതിയ ടെക്‌നിക്കുകള്‍ മനസിലാക്കുകയും, അവ വീണ്ടും വീണ്ടും പ്രയോഗിച്ച് തഴക്കം വരുത്തുകയുമാണ് ആദ്യം ചെയ്തത്. അതിന് മാസങ്ങളെടുത്തു. എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും മോഡുലാര്‍ ഫോമുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതുവരെയുള്ള ഗണിതം മുഴുവന്‍ പരിചിതമാക്കാന്‍ 18 മാസക്കാലം ചെലവിട്ടു. അതിനു ശേഷം മാത്രമാണ്, തന്റെ ആദ്യചുവട് എങ്ങനെ വേണമെന്ന് ചിന്തിച്ചതു തന്നെ! 

അനന്തമായ എണ്ണം എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. അവ മുഴുവന്‍ മോഡുലാര്‍ ആണെന്ന് തെളിയിക്കണം. പതിറ്റാണ്ടുകളായി മുന്നിലുള്ള സംഗതിയാണെങ്കിലും, ആ പ്രശ്‌നത്തെ എങ്ങനെ സമീപിക്കണമെന്നു പോലും ആര്‍ക്കും പിടിയില്ലായിരുന്നു. വൈല്‍സിനെ പക്ഷേ, ഇത്തരം ആശങ്കകളൊന്നും അലട്ടിയില്ല. പൂര്‍ണ്ണമായ തെളിവ് കണ്ടെത്താന്‍ കഴിഞ്ഞില്ലെന്ന് തന്നെ ഇരിക്കട്ടെ, ഭാഗികമായ മുന്നേറ്റം പോലും ഗണിതത്തിന്റെ മുന്നോട്ടുള്ള വഴിയില്‍ വലിയ മുതല്‍ക്കൂട്ടാകുമെന്ന് ആ ഗവേഷകന്‍ കണ്ടു. പരാജയത്തെ അദ്ദേഹം ഭയപ്പെട്ടില്ല!

ഏതാണ്ട് ഒരു വര്‍ഷത്തെ ചിന്തകള്‍ക്കും പഠനത്തിനും ശേഷം തന്റെ പ്രൂഫിന്റെ അടിസ്ഥാനമായി 'ഇന്‍ഡക്ഷന്‍' (induction) എന്ന ഗണിതസങ്കേതം സ്വീകരിക്കാന്‍ വൈല്‍സ് തീരുമാനിച്ചു. അനന്തമായ എണ്ണം ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു പ്രസ്താവന തെളിയിക്കേണ്ടി വരുമ്പോള്‍, അതിലേതെങ്കിലും ഒരു ഘടകം ശരിയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാല്‍, അക്കാര്യം അനന്തമായ എണ്ണം കേസുകള്‍ക്ക് ബാധകമാക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന തന്ത്രമാണത്. 

എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഡിഎന്‍എ 'ഇ-സീരീസ്' (E-series) ആണെന്നും, മോഡുലാര്‍ ഫോമുകളുടേത് 'എം-സീരീസ്' (M-series) ആണെന്നും കഴിഞ്ഞ ലക്കത്തില്‍ സൂചിപ്പിച്ചല്ലോ. ഈ സീരീസുകളില്‍ ഓരോന്നും പരസ്പരം ചേര്‍ന്നു പോകുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുകയാണ്, ടാനിയാമ-ഷിമുര നിഗമനം തെളിയിക്കാന്‍ വേണ്ടത്. അനന്തമായ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുള്ളതിനാല്‍, അവയ്‌ക്കെല്ലാം ബാധകമായ തെളിവ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് വെല്ലുവിളി. ഒരു ഇ-സീരീസിലെ മുഴുവന്‍ ഘടകങ്ങളും ഒരു എം-സീരീസിലെ മുഴുവന്‍ ഘടകങ്ങളുമായി ചേര്‍ന്നു പോകുന്നു എന്ന് തെളിയിച്ച ശേഷം, അടുത്ത ഇ-സീരീസിലേക്കും എം-സീരീസിലേക്കും കടക്കുകയാണ് ഗണിതവിദഗ്ധര്‍ സാധാരണ ചെയ്യുക. വൈല്‍സ് ഇക്കാര്യത്തില്‍ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമീപനം സ്വീകരിച്ചു. ഇരു സീരീസുകളിലെയും ഒരു ഘടകം പരസ്പരം ചേര്‍ന്നു പോകുന്നു എന്നു തെളിയിച്ചതിന് ശേഷം, അടുത്ത ഘടകത്തിലേക്ക് കടക്കുക എന്നതായിരുന്നു ആ തന്ത്രം.

മുഴുവന്‍ ഇ-സീരീസുകളിലേയും ആദ്യ ഘടകങ്ങള്‍, എല്ലാ എം-സീരീസിലേയും ആദ്യ ഘടകങ്ങളുമായി ചേര്‍ന്നു പോകുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കലായിരുന്നു ആദ്യപടി. അതിന് ഏത് ഗണിതസങ്കേതം സഹായിക്കുമെന്ന് കണ്ടെത്താന്‍ വിശദമായ അന്വേഷണം തന്നെ വേണ്ടിവന്നു. ഇവാറിസ്‌റ്റെ ഗാലോയിസ് എന്ന ഫ്രഞ്ച് ഗണിതപ്രതിഭ 1832-ല്‍, ഇരുപത്തിയൊന്നാം വയസ്സില്‍ ദിന്ദ്വയുദ്ധത്തില്‍ മരിക്കുന്നതിന്റെ തലേന്നാള്‍ കുറിച്ചിട്ട കണ്ടെത്തലുകള്‍ക്കിടയില്‍ അതിനുള്ള രഹസ്യായുധം മറഞ്ഞിരിക്കുന്നതായി വൈല്‍സ് കണ്ടെത്തി. ഗലോയിസ് വികസിപ്പിച്ച 'ഗ്രൂപ്പ് തിയറി' എന്ന ഗണിതവിദ്യയായിരുന്നു അത്. 

Evariste Galois
ഇവാറിസ്‌റ്റെ ഗാലോയിസ്.
ചിത്രം കടപ്പാട്: Wikimedia Commons.

അതുപയോഗിച്ച് മാസങ്ങള്‍ നീണ്ട വിശകലനങ്ങള്‍ക്കും കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ക്കും ഒടുവില്‍, നിഷേധിക്കാനാവാത്ത ആ തെളിവ് വൈല്‍സ് കണ്ടെത്തി, മുഴുവന്‍ ഇ-സീരീസിലെയും ആദ്യ ഘടകങ്ങളുമായി എല്ലാ എം-സീരീസിലെയും ആദ്യ ഘടകങ്ങള്‍ യോജിക്കുന്നു! അങ്ങനെ ആദ്യചുവട് വൈല്‍സ് വിജയകരമായി മുന്നോട്ടുവെച്ചു. അത്രകാലവും തെളിയിക്കപ്പെടാതിരുന്ന പ്രശ്‌നങ്ങള്‍ മെരുക്കിയെടുക്കാന്‍ സഹായിക്കുന്ന ശക്തമായ ആയുധമായിരുന്നു ഗ്രൂപ്പ് തിയറി. ഗലോയിസ് കണ്ടെത്തിയ ആ സങ്കേതം, ഒന്നര നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷം ടാനിയാമ-ഷിമുര നിഗമനം തെളിയിക്കാനുള്ള അടിത്തറയായി മാറി! അങ്ങനെ രണ്ടുവര്‍ഷത്തെ അധ്വാനത്തിനൊടുവില്‍ വൈല്‍സ് ആദ്യ കടമ്പ താണ്ടി. 

തുടക്കമേ ആയിട്ടുള്ളൂ. അടുത്ത ചുവട് ഇ-സീരീസിലെ ഏതെങ്കിലുമൊരു ഘടകം ബന്ധപ്പെട്ട എം-സീരീസിലെ ഘടകവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതുപോലെ അടുത്ത ഘടകങ്ങളും, എന്നു തെളിയിക്കലായിരുന്നു. ആദ്യചുവടുവെപ്പ് വിജയകരമായി നടത്തിയ ശേഷം, രണ്ടുവര്‍ഷം അധ്വാനിച്ചിട്ടും മുന്നോട്ടുള്ള വഴി തെളിയുന്നില്ല. എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലെ ഒരു ഘടകം മോഡുലാര്‍ ആണെങ്കില്‍, അടുത്ത ഘടകവും അതായിരിക്കുമെന്ന് തെളിയിക്കാന്‍ പോന്ന ഒരു ഗണിത സങ്കേതവും കണ്ടെത്താനാകുന്നില്ല. കേംബ്രിഡ്ജില്‍ ജോണ്‍ കോട്‌സിന് കീഴില്‍ താന്‍ പഠിച്ച 'ഇവാസാവ തിയറി' (Iwasawa theory) ഉപയോഗിക്കാന്‍ വൈല്‍സ് ശ്രമിച്ചു. എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങള്‍ വിശകലനം ചെയ്യാന്‍ സഹായിക്കുന്ന വിദ്യയാണത്. പക്ഷേ, അതും ഫലം ചെയ്തില്ല. ആ തിയറി പരിഷ്‌ക്കരിച്ച് ഉപയോഗിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തില്‍ താന്‍ പരാജയപ്പെട്ടതായി 1991 ആയപ്പോഴേക്കും വൈല്‍സ് മനസിലാക്കി. നിലവിലുള്ള ഒരു ഗണിതവിദ്യയും തന്നെ സഹായിക്കില്ല എന്ന് ആ ഗവേഷകന്‍ നിരാശയോടെ തിരിച്ചറിഞ്ഞു. 

താന്‍ ഏതെങ്കിലും സമ്മേളനത്തിനോ സെമിനാറിനോ പോകാതെ അഞ്ചുവര്‍ഷമായി പ്രിന്‍സ്റ്റണില്‍ തന്നെ കഴിയുന്ന കാര്യം വൈല്‍സ് ഓര്‍ത്തു. അങ്ങനെ, ബോസ്റ്റണില്‍ എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ കുറിച്ചുള്ള ഒരു പ്രധാന സമ്മേളനത്തില്‍ പങ്കെടുക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചു. ചിലപ്പോള്‍ ആരെങ്കിലും എവിടെയെങ്കിലും നൂതനമായ ഒരു സങ്കേതം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ടാകും, പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടുണ്ടാവില്ല. ഏറെക്കാലത്തിന് ശേഷം കോണ്‍ഫറന്‍സിനെത്തിയ വൈല്‍സിനെ സുഹൃത്തുക്കള്‍ ഊഷ്മളമായി സ്വീകരിച്ചു. വൈല്‍സ് എന്താണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് ആര്‍ക്കും അറിയില്ലായിരുന്നു, എന്തിനാണ് ആ ഗവേഷകന്‍ എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പുതിയ സങ്കേതങ്ങളെക്കുറിച്ച് തിരക്കുന്നതെന്നും! 

കേംബ്രിഡ്ജില്‍ വൈല്‍സിന്റെ സൂപ്പര്‍വൈസറായിരുന്ന ജോണ്‍ കോട്‌സ് ആണത് പറഞ്ഞത്, തന്റെ വിദ്യാര്‍ഥി മത്തേയൂസ് ഫ്‌ളാക് (Matheus Flach) എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങള്‍ വിശകലനം ചെയ്യാനുള്ള ഒരു നൂതനവിദ്യയെപ്പറ്റി പ്രബന്ധം തയ്യാറാക്കുന്ന കാര്യം. റഷ്യന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വിക്ടര്‍ കോലിവാഗിന്‍ (Victor Kolyvagin) അടുത്തയിടെ കണ്ടെത്തിയ സങ്കേതമാണ് ഫ്‌ളാകിന്റെ പ്രബന്ധത്തിനാധാരം. 

Victor Kolyvagin
വിക്ടര്‍ കോലിവാഗിന്‍. ചിത്രം കടപ്പാട്: wstein.org

അത്തരമൊരു വിദ്യയായിരുന്നു വൈല്‍സിന് ശരിക്കും ആവശ്യം. 'കോലിവാഗിന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതം' (Kolyvagin - Flach Method) കൂടുതല്‍ വികസിപ്പിക്കേണ്ടി വരുമെന്ന് വൈല്‍സ് മനസിലാക്കി. സമ്മേളനം കഴിഞ്ഞ് തിരിച്ചെത്തിയ അദ്ദേഹം രാവും പകലും ആ സങ്കേതം പരിഷ്‌ക്കരിക്കാന്‍ അധ്വാനിച്ചു. പുതിയ വിദ്യ തത്ത്വത്തില്‍, വൈല്‍സിന്റെ വാദഗതി എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു ഘടകത്തില്‍ നിന്ന് എല്ലാ ഘടകത്തിലേക്കും ബാധകമാക്കാന്‍ പോന്നതായിരുന്നു. ശക്തിയേറിയ ഒരു ഗണിതസങ്കേതമാണ് കോലിവാഗിന്‍ രൂപപ്പെടുത്തിയത്, അതിനെ കൂടുതല്‍ മൂര്‍ച്ചയുള്ളതാക്കി ഫ്‌ളാക് പരിഷ്‌ക്കരിച്ചു. എന്നാല്‍, ഇരുവരും അറിഞ്ഞില്ല, ലോകത്തെ ഏറ്റവും വലിയ പ്രൂഫിനായി വൈല്‍സ് അത് ഉപയോഗിക്കുന്ന കാര്യം! 

ഒരു എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ കാര്യത്തില്‍ ശരിയാകുന്ന കോലിവാഗിന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതം മറ്റൊരു സമവാക്യത്തില്‍ പ്രയോഗിക്കാന്‍ കഴിയണമെന്നില്ല എന്ന് വൈല്‍സ് മനസിലാക്കി. എല്ലിപ്റ്റിക് സമവാക്യങ്ങള്‍ വ്യത്യസ്ത കുടുംബങ്ങളായി ക്ലാസിഫൈ ചെയ്തുകൊണ്ടാണ് ആ പ്രശ്‌നം മറികടന്നത്. ഒരു സമവാക്യത്തില്‍ ശരിയാകുന്ന ആ സങ്കേതം, ആ കുടുംബത്തിലെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങള്‍ക്കും ബാധകമാക്കാന്‍ കഴിയുമെന്ന് കണ്ടെത്തി. കീഴടക്കാന്‍ പറ്റാത്തത്ര കടുപ്പവും സങ്കീര്‍ണതയും ഉള്ളതായിരുന്നു ചില കുടുംബങ്ങള്‍. അവയെ ഒന്നൊന്നായി മെരുക്കിയെടുക്കാന്‍ വൈല്‍സ് ശ്രമിച്ചു. 

1993 ജനുവരി ആയപ്പോഴേക്കും, തന്റെ പ്രൂഫ് വിദഗ്ധനും വിശ്വസ്തനുമായ ഒരാളെ കാണിച്ച് അഭിപ്രായമറിയാന്‍ വൈല്‍സ് തീരുമാനിച്ചു. പ്രിന്‍സ്റ്റണില്‍ സഹപ്രവര്‍ത്തകനായ പ്രൊഫസര്‍ നിക്ക് കാറ്റ്‌സിനെയാണ് കാണിച്ചത്. അവിശ്വനീയതയോടെയാണ് കാറ്റ്‌സ് അതു കണ്ടത്. എന്തെങ്കിലും പ്രശ്‌നം അതിലുള്ളതായി തോന്നിയില്ല. 

അതോടെ പ്രൂഫ് പൂര്‍ത്തിയാക്കുള്ള ശ്രമം വൈല്‍സ് തിടുക്കത്തില്‍ ആരംഭിച്ചു. എല്ലിപ്റ്റിക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ കുടുംബങ്ങളെ  ഒന്നൊന്നായി കോലിവാഗിന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതത്തിന്റെ പിടിയിലെത്തിച്ചു. അവസാനം, ഒരു കുടുംബം മാത്രം പിടികൊടുക്കുന്നില്ല എന്നായി സ്ഥിതി. പ്രൂഫ് പൂര്‍ത്തിയാക്കാന്‍ ആ ഒരു കണ്ണി കൂടി മതി. എന്തുവേണം എന്ന ആലോചനയ്ക്കിടെ, ബാരി മസൂറിന്റെ ഒരു പ്രബന്ധം വെറുതെ നോക്കുകയായിരുന്നു വൈല്‍സ്. അതിലെ ഒരു വാക്യം ആ ഗവേഷകന്റെ ശ്രദ്ധയാകര്‍ഷിച്ചു. പത്തൊന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഒരു ഗണിതനിര്‍മിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതായിരുന്നു ആ വാക്യം....പെട്ടന്ന് വൈല്‍സിന് പിടികിട്ടി, എല്ലിപ്റ്റിക് ഇക്വേഷനുകളുടെ അവസാന കുടുംബത്തെ എങ്ങനെ മെരുക്കാമെന്ന്! 

ഉച്ചഭക്ഷണത്തിന്റെ കാര്യം മറന്നു, ഏതാണ്ട് നാലുമണിയായപ്പോള്‍ താഴെയെത്തി. അദ്ദേഹം അത്രയും വൈകിയതില്‍ നാദ അത്ഭുതപ്പെട്ടു. അപ്പോള്‍ വൈല്‍സ് നാദയോട് പറഞ്ഞു: 'ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം ഞാന്‍ തെളിയിച്ചു!'

1993 ജൂണ്‍ 21, 22, 23 തിയതികളില്‍ കേംബ്രിഡ്ജിലെ ഐസക് ന്യൂട്ടണ്‍ ഇന്‍സ്റ്റിട്ട്യൂട്ടില്‍ നടത്തിയ മൂന്ന് അവതരണങ്ങള്‍ വഴി, ആ കണ്ടെത്തല്‍ വൈല്‍സ് ആദ്യമായി ലോകത്തിന് മുന്നില്‍ അവതരിപ്പിച്ചു. എത്രമാത്രം രഹസ്യസ്വഭാവത്തോടെ ആണോ ആ ഏഴുവര്‍ഷം താന്‍ പ്രവര്‍ത്തിച്ചത്, അവതരണത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും വൈല്‍സ് അത് ആവര്‍ത്തിച്ചു. ആര്‍ക്കും ഒരു സൂചനയും നല്‍കിയില്ല. 'Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations' എന്നായിരുന്നു അവതരണത്തിന്റെ പേര്. ഫെര്‍മായുടെ തിയറമെന്നോ, ടാനിയാമ-ഷിമുര നിഗമനമെന്നോ ഒന്നും അതില്‍ സൂചനയില്ലായിരുന്നു. 'നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ഗണിത അവതരണം' ആണ് വൈല്‍സ് നടത്തുന്നതെന്ന് ആദ്യം ആര്‍ക്കും മനസിലായില്ല. 

അവതരണം ആദ്യദിനം കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ തന്നെ, പലര്‍ക്കും സംഭവത്തിന്റെ കിടപ്പ് മനസിലായി. അത്യപൂര്‍വ്വവും അതിസങ്കീര്‍ണവുമായ കണ്ടെത്തലാണ് വൈല്‍സ് അവതരിപ്പിക്കുന്നത്. വൈല്‍സ് ഫെര്‍മായെ തെളിയിക്കാന്‍ പോകുന്നതായി അഭ്യൂഹം പരന്നു. മൂന്നാം ദിവസമായപ്പോഴേക്കും, അവതരണം നടക്കുന്ന ഹോളിന്റെ കോറിഡോറില്‍ വരെ ആളുകള്‍ തിങ്ങിനിറഞ്ഞു. വൈല്‍സിന്റെ ആ കണ്ടെത്തലിന് സംഭാവന നല്‍കിയ പ്രമുഖരെല്ലാം-മസൂര്‍, റിബെറ്റ്, കോലിവാഗിന്‍ ഒക്കെ-സദസ്സിലുണ്ടായിരുന്നു. ടാനിയാമ-ഷിമുര നിഗമനം ശരിയാണ് എന്നതിന്റെ തെളിവാണ് വൈല്‍സ് അവിടെ നിരത്തിയത്. 

ബോര്‍ഡിലെ അവസാന വരിയായി അദ്ദേഹം ഇതുകൂടി കുറിച്ചു: 'അതിനാല്‍, ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തവും ശരിയാണ്!' 350 വര്‍ഷത്തിലേറെയായി ഗണിതലോകം അക്ഷമയോടെ കാത്തിരുന്ന പ്രഖ്യാപനം! തിങ്ങിനിറഞ്ഞ ഹാള്‍ മിനുറ്റുകളോളം കരഘോഷം കൊണ്ട് നിറഞ്ഞു.  

കഥ അവിടംകൊണ്ട് അവസാനിച്ചില്ല. പ്രൂഫ് അവതരിപ്പിച്ചതുകൊണ്ട് മാത്രം കാര്യമില്ല. അത് ഏതെങ്കിലും അംഗീകൃത ജേര്‍ണലില്‍ വിദഗ്ധരുടെ പരിശോധന കഴിഞ്ഞ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കണം. 200 പേജുള്ള പ്രൂഫാണ് വൈല്‍സ് Inventiones of Mathematicae ജേര്‍ണലിന് സമര്‍പ്പിച്ചത്. ബാരി മസൂര്‍ ആയിരുന്നു ആ ജേര്‍ണലിന്റെ എഡിറ്റര്‍. ആധുനികവും പ്രാചീനവുമായ ഒട്ടേറെ ഗണിതവിദ്യകള്‍ അടങ്ങിയിട്ടുള്ള സങ്കീര്‍ണ്ണ പ്രബന്ധമാകയാല്‍, സാധാരണഗതിയില്‍ രണ്ടോമൂന്നോ റഫറികളെ ഏല്‍പ്പിക്കുന്നതില്‍ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി മസൂര്‍ അത് ആറ് വിദഗ്ധരുടെ പരിശോധനയ്ക്ക് വിട്ടു. ഓരോ റഫറിയും ഏത് മേഖലയില്‍ വിദഗ്ധരാണോ, അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അധ്യായങ്ങള്‍ അവരെ ഏല്‍പ്പിച്ചു. 

Fermat's Last Theorem, Taniyama - Shimura conjecture, Andrew Wiles
ആന്‍ഡ്രൂ വൈല്‍സ് 1993 ല്‍ ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രൂഫ് ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചപ്പോള്‍. ചിത്രം കടപ്പാട്: The Royal Society.

അതിലെ മൂന്നാം അധ്യായം പരിശോധിക്കേണ്ട ചുമതല നിക്ക് കാറ്റ്‌സിനാണ് വന്നത്. മുമ്പ് ആ പ്രൂഫ് ഭാഗികമായി കണ്ടയാളാണ് കാറ്റ്‌സ്. തനിക്ക് ചുമതലപ്പെട്ട ഭാഗം ആഴത്തില്‍ പരിശോധിച്ചപ്പോള്‍ അവിടെ ഒരു പിഴവ് അദ്ദേഹം കണ്ടു. വൈല്‍സുമായി ആശയവിനിമയം നടത്തിയപ്പോള്‍, കാര്യം കൂടുതല്‍ ഗൗരവമാര്‍ന്നതായി വന്നു. കോലിവാഗിന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതം, ആ ഭാഗത്ത് വൈല്‍സ് ഉദ്ദേശിച്ചതുപോലെ പ്രവര്‍ത്തിക്കും എന്നതിന് ഉറപ്പില്ല; ഇതായിരുന്നു പ്രശ്‌നം. 

പ്രൂഫിന്റെ പ്രസിദ്ധീകരണം നിര്‍ത്തിവെച്ചു. ഗണിതലോകത്ത് പലതരം അഭ്യൂഹങ്ങള്‍ പരക്കുന്ന വേളയില്‍, പിഴവ് മാറ്റി പ്രൂഫ് ശക്തിപ്പെടുത്താനുള്ള കഠിനശ്രമം വൈല്‍സ് ആരംഭിച്ചു. എങ്ങനെയൊക്കെ നോക്കിയിട്ടും അതു ശരിയാക്കാന്‍ കഴിയുന്നില്ല. തന്റെ മുന്‍വിദ്യാര്‍ഥിയായ റിച്ചാര്‍ഡ് ടെയ്‌ലറുടെ സഹകരണം വൈല്‍സ് തേടി. കോലിവാഗിന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതം ഏതൊക്കെ വിധത്തില്‍ പരിഷ്‌ക്കരിക്കാന്‍ നോക്കിയിട്ടും പ്രശ്‌നപരിഹാരം ഉണ്ടായില്ല. ഒടുവില്‍ നിരാശയോടെ പരാജയം സമ്മതിച്ച്, മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പരിശോധനയ്ക്കായി പ്രൂഫ് വിട്ടുകൊടുക്കാമെന്ന് വൈല്‍സ് കരുതുന്ന ഘട്ടം വരെയെത്തി കാര്യങ്ങള്‍. 

1994 സെപ്റ്റംബര്‍ 19 ആയിരുന്നു അന്ന്. കോലിവാഗിന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതം ഒന്നുകൂടി പരിശോധിക്കുകയായിരുന്നു വൈല്‍സ്. പെട്ടന്നാണ് ആ ഉള്‍ക്കാഴ്ച ഉണ്ടായത്. കോലിവാഗിന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതം പൂര്‍ണമായി ശരിയാകുന്നില്ലെങ്കില്‍, മുമ്പ് താന്‍ ശ്രമിച്ച  ഇവാസാവ തിയറി സഹായിക്കില്ലേ! ഇവാസാവ തിയറി മാത്രമായാല്‍ അപര്യാപ്തമാണ്. കോലിവാഗന്‍-ഫ്‌ളാക് സങ്കേതവും സ്വന്തംനിലയ്ക്ക് അപര്യാപ്തമാണ്. അവ ഒരുമിച്ച് പ്രയോഗിക്കുമ്പോള്‍ കുറ്റമറ്റ രീതിയില്‍ കാര്യങ്ങളെത്തുന്നു. ആര്‍ക്കും നിഷേധിക്കാന്‍ കഴിയാത്തത്ര ബലമുള്ളതാകും പ്രൂഫ്! 

'എന്റെ തൊഴില്‍ജീവിതത്തിലെ ഏറ്റവും നിര്‍ണായകമായ നിമിഷമായിരുന്നു അത്'-പിന്നീട് വൈല്‍സ് അതെപ്പറ്റി പറഞ്ഞു. 

അങ്ങനെ വേദനാജനകമായ 14 മാസങ്ങള്‍ക്ക് ശേഷം, പ്രൂഫിലെ പിഴവ് മാറ്റാന്‍ കഴിഞ്ഞു. ഇത്തവണ പ്രൂഫിനെപ്പറ്റി ആര്‍ക്കും ഒരു സംശയവും ഇല്ലായിരുന്നു. 130 പേജുകള്‍ വരുന്ന രണ്ടു പ്രബന്ധങ്ങളായി 'അനല്‍സ് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സ്' ജേര്‍ണലില്‍ 1995 മെയ് മാസത്തില്‍, ചരിത്രത്തില്‍ ഏറ്റവും വലിയ പരിശോധനകള്‍ക്ക് വിധേയമായ ആ പ്രൂഫ് പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെട്ടു.

പോള്‍ വള്‍സ്‌കീല്‍ 90 വര്‍ഷം മുമ്പ് തന്റെ വില്‍പ്പത്രത്തില്‍ എഴുതിവെച്ച സമ്മാനം മുതല്‍, ഗണിതത്തിലെ നൊബേല്‍ എന്ന് വിശേഷണമുള്ള ഏബല്‍ പ്രൈസ് വരെ വൈല്‍സിനെ തേടിയെത്തി! 

* കുറിപ്പ്: 'മോഡുലാരിറ്റി തിയറം' എന്ന പേരിലാണ് ടാനിയാമ-ഷിമുര നിഗമനം ഇപ്പോള്‍ അറിയപ്പെടുന്നത്. ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനായി, സെമിസ്റ്റേബിള്‍ എല്ലിപ്റ്റിക് കര്‍വുകളുടെ കാര്യത്തില്‍ ബാധകമായ മോഡുലാരിറ്റി തിയറമാണ് ആന്‍ഡ്രൂ വൈല്‍സ് പ്രൂവ് ചെയ്തത്. വൈല്‍സ് രൂപംനല്‍കിയ സങ്കേതങ്ങളുപയോഗിച്ച്, ക്രിസ്റ്റഫ് ബ്രൂയില്‍, ബ്രിയാന്‍ കോണ്‍റാഡ്, ഫ്രെഡ് ഡയമണ്ട്, റിച്ചാര്‍ഡ് ടൈലര്‍ എന്നിവര്‍ ചേര്‍ന്ന് 2001-ല്‍ മോഡുലാരിറ്റി തിയറം പൂര്‍ണമായ തോതില്‍ തെളിയിച്ചു. 

* ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗം: ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തവും പരാജയങ്ങളുടെ തുടര്‍ചരിത്രവും 

*ലേഖനത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം: ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തവും ജപ്പാനില്‍ നിന്നുള്ള വെളിപാടും 

അവലംബം -

* Fermat's Last Theorem (2011). By Simon Singh. Harper Perennial, London (First published in 1997).
* Fermat's last theorem. MacTutor History of Mathematics archive.
* Professor Who Solved Fermat's Last Theorem Wins Math's Abel Prize. NPR, March 17, 2016.
* Sir Andrew Wiles on the Struggle & Beauty of Mathematics. By Roger Highfield. Oxford Mathematics Science Museum, Dec 1, 2017. 

* മാതൃഭൂമി നഗരം പേജില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്

Content Highlights: Fermat's Last Theorem, Taniyama - Shimura conjecture, Andrew Wiles, Pierre de Fermat, Nick Katz, Evariste Galois, Matheus Flach, Victor Kolyvagin, Kolyvagin-Flach Method, Elliptic curves, Modular forms