അങ്ങേയറ്റം ലളിതമായ പ്രശ്‌നം എന്ന് ആദ്യനോട്ടത്തില്‍ തോന്നും. ഈ മുന്‍വിധിയോടെ 'ഇപ്പ ശരിയാക്കിത്തരാം' എന്നു പറഞ്ഞ് ഫെര്‍മായുടെ അവസാനത്തെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാന്‍ ഇറങ്ങിയവരുടെയെല്ലാം കൈ പൊള്ളിയിട്ടുണ്ട്

Pierre de Fermat
പിയറി ഡി ഫെര്‍മാ 

ര്‍മന്‍ ഡോക്ടറും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ പോള്‍ വള്‍സ്‌കീല്‍ (1856-1906) പ്രണയ നൈരാശ്യം മൂത്ത് സ്വയം ജീവനൊടുക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചു. എന്തും കൃത്യമായി ആസൂത്രണം ചെയ്തു നടപ്പാക്കുന്ന ശീലക്കാരനായിരുന്നു അദ്ദേഹം. ആത്മഹത്യയുടെ കാര്യത്തിലും അതുതന്നെ ചെയ്തു. മരിക്കേണ്ട തിയതി മുന്‍കൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചു, ആ ദിവസം അര്‍ധരാത്രി തലയില്‍ വെടിവെച്ച് മരിക്കാനും ഉറച്ചു. മരണത്തിന് മുമ്പത്തെ ദിനങ്ങളില്‍ സ്വത്തുവകകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഗതികളൊക്കെ ശരിയാക്കി, വില്‍പ്പത്രം തയ്യാറാക്കി. അടുത്ത സുഹൃത്തുക്കള്‍ക്കും വീട്ടുകാര്‍ക്കുമുള്ള കത്തുകളെഴുതി വെച്ചു. 

മരിക്കാന്‍ നിശ്ചയിച്ച സമയത്തിന് ഏതാനും മണിക്കൂറുകള്‍ക്ക് മുമ്പ് എല്ലാ കാര്യങ്ങളും തീര്‍ത്തു. കുറച്ചുനേരം ലൈബ്രറിയില്‍ ചെലവിടാമെന്ന് കരുതി. ലൈബ്രറിയില്‍ പുതിയ ഗണിതപ്രസിദ്ധീകരണങ്ങള്‍ നോക്കുന്നതിനിടെ, ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം സംബന്ധിച്ചുള്ള ഒരു പ്രബന്ധം കണ്ണില്‍പെട്ടു. ജര്‍മന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഏണസ്റ്റ് കുമ്മര്‍ ആയിരുന്നു പ്രബന്ധകര്‍ത്താവ്. ആര്‍ക്കും തെളിയിക്കാന്‍ കഴിയാത്ത ദുര്‍ഘടമായ ഗണിതപ്രശ്‌നമെന്ന നിലയ്ക്ക് കുപ്രസിദ്ധി നേടിയ ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തത്തെക്കാള്‍ മികച്ച ഒന്ന് മരിക്കാന്‍ നിശ്ചയിച്ച ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് കിട്ടാനില്ലായിരുന്നു!

പത്തൊന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗണിതസങ്കേതങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാന്‍ കഴിയില്ല എന്നതായിരുന്നു കുമ്മറുടെ പ്രബന്ധത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം. വള്‍സ്‌കീല്‍ ആ പ്രബന്ധത്തിലെ ഓരോ ലൈനും ശ്രദ്ധയോടെ പരിശോധിച്ചു. കുമ്മര്‍ അവതരിപ്പിച്ച യുക്തിയില്‍ ഒരു പിഴവു കണ്ടത് പെട്ടന്നാണ്. അതോടെ ആവേശം കയറി. കുമ്മര്‍ പറഞ്ഞതില്‍ പിശകുണ്ടെങ്കില്‍, ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാന്‍ കഴിയും എന്നല്ലേ അര്‍ഥം. കുമ്മറിന്റെ വാദം വിലയിരുത്താന്‍ ഒരു 'മിനിപ്രൂഫ്' കണ്ടെത്താനായി ആ നിരാശാകാമുകന്റെ ശ്രമം. നേരം വെളുക്കും വരെ അതിനായി പണിപ്പെട്ടു, ഒടുവില്‍ മിനിപ്രൂഫ് തയ്യാറായി. 

Paul Wolfskehl
പോള്‍ വള്‍സ്‌കീല്‍. ചിത്രം
കടപ്പാട്: Wikipedia

ആത്മഹത്യയുടെ സമയം അപ്പോഴേയ്ക്കും കഴിഞ്ഞിരുന്നു! പക്ഷേ, കുമ്മറെ പോലൊരു പ്രതിഭയുടെ പിശക് പരിഹരിക്കാന്‍ തനിക്ക് കഴിഞ്ഞു എന്നത് വളരെ അഭിമാനകരമായി വള്‍സ്‌കീലിന് അനുഭവപ്പെട്ടു. സങ്കടവും നിരാശയും മാറി, ജീവിക്കാനുള്ള അഭിനിവേശം ഗണിതം അയാള്‍ക്ക് തിരികെ നല്‍കി. വില്‍പ്പത്രം കീറിക്കളഞ്ഞു. 

1906 വരെ ജീവിച്ച വള്‍സ്‌കീല്‍, മരിക്കുംമുമ്പ് തയ്യാറാക്കിയ പുതിയ വില്‍പ്പത്രം കണ്ട് ബന്ധുക്കളും സുഹൃത്തുക്കളും അമ്പരന്നു. വള്‍സ്‌കീലിന്റെ സമ്പാദ്യത്തില്‍ വലിയൊരു പങ്ക് ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്ന ആദ്യവ്യക്തിക്ക് സമ്മാനത്തുകയായി മാറ്റിവെച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ലക്ഷം മാര്‍ക്കാണ് സമ്മാനത്തുക. ഇരുപതാംനൂറ്റാണ്ടിന്റെ ഒടുവിലത്ത മൂല്യം അനുസരിച്ച് ഇത് 10 ലക്ഷം പൗണ്ട് വരും! തന്റെ ജീവന്‍ രക്ഷിച്ചതിനുള്ള പ്രതിഫലമായാണ് വള്‍സ്‌കീല്‍ അതു ചെയ്തത്. ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രൂഫ് കണ്ടെത്താനുള്ള ശ്രമങ്ങള്‍ പുനരുജ്ജീവിപ്പിക്കാന്‍ വള്‍സ്‌കീലിന്റ സമ്മാനത്തുക വഴിവെച്ചു! 

അറിഞ്ഞ നാള്‍ മുതല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ വട്ടംകറക്കിയ പ്രഹേളികയാണ് 'ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം' (Fermat's Last Theorem). പ്രാചീനഗ്രീസിലേക്ക് വേരുകള്‍ നീളുന്ന ഒന്നാണ് 1637 കാലത്ത് ഫെര്‍മാ കണ്ടെത്തിയ ആ ഗണിതപ്രശ്‌നം. 'ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കര്‍ണത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം, മറ്റു രണ്ട് വശങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ ആകെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും' എന്നതാണ് പൈതഗോറസിന്റെ സിദ്ധാന്തം. ഇതു പഠിക്കാത്ത ഒരു സ്‌കൂള്‍ വിദ്യാര്‍ഥിയും ലോകത്ത് കാണില്ല. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ചുവടുപിടിച്ചുള്ളതാണ് ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം. അവസാന സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത് ഇതാണ്-

xn+yn=z എന്ന സമവാക്യത്തില്‍ 'n' ന്റെ മൂല്യം രണ്ടില്‍ കൂടുതലായാല്‍, x, y, z എന്നിവയ്ക്ക് പൂര്‍ണസംഖ്യകളൊന്നും സാധ്യമാകില്ല (There are no three positive integers x, y and satisfy the equation xn+yn=z for any integer value of n greater than two). 

Fermat's Last Theorem
ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം

അങ്ങേയറ്റം ലളിതമായ പ്രശ്‌നം എന്ന് ആദ്യനോട്ടത്തില്‍ തോന്നും. ഈ മുന്‍വിധിയോടെ 'ഇപ്പ ശരിയാക്കിത്തരാം' എന്നു പറഞ്ഞ് ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനിറങ്ങിയവരുടെയെല്ലാം കൈ പൊള്ളിയിട്ടുണ്ട്! ഏറെനാള്‍ അതിന്മേല്‍ മല്ലിട്ട് നിരാശരായവര്‍ ഏറെയാണ്. അതില്‍ ലിയോണ്‍ഹാഡ് ഓയ്‌ലറെ പോലുള്ള മഹാപ്രതിഭകള്‍ മുതല്‍ സാധാരണ ഗണിതവിദ്യാര്‍ഥികള്‍ വരെ ഉള്‍പ്പെടും. ആര്‍ക്കും പ്രൂഫ് കണ്ടെത്താനാകാതെ മാസങ്ങളും വര്‍ഷങ്ങളും നൂറ്റാണ്ടുകളും കടന്നുപോയതോടെ, ആ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാന്‍ (പ്രൂഫ് കണ്ടെത്താന്‍) കഴിയില്ലെന്ന ധാരണ ശക്തമായി. വള്‍സ്‌കീലിന്റെ സമ്മാനത്തുക പ്രഖ്യാപിക്കപ്പെടുന്ന സമയത്ത് അതായിരുന്നു സ്ഥിതി. 

1601 ഓഗസ്റ്റ് 20-ന് തെക്കുപടിഞ്ഞാറന്‍ ഫ്രാന്‍സിലെ ബൗമോണ്ട്-ഡി-ലോമാഞ്ജ് പട്ടണത്തില്‍ സമ്പന്നനായ ഒരു തുകല്‍വ്യാപാരിയുടെ മകനായി പിയറി ഡി ഫെര്‍മാ ജനിച്ചു. അഭിഭാഷകവൃത്തിയാണ് ഫെര്‍മ തൊഴിലായി തിരഞ്ഞെടുത്തത്. ഒഴിവു സമയത്തെ ഹോബി എന്ന നിലയ്ക്ക് നടത്തിയ ഗണിതപഠനം, ചരിത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രഗത്ഭനായ സംഖ്യാശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ എന്ന പദവി ഫെര്‍മായ്ക്ക് നേടിക്കൊടുത്തു. വിചിത്രമെന്ന് പറയട്ടെ, ആകെ ഒറ്റ പ്രബന്ധമേ അദ്ദേഹം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടുള്ളൂ (അതും പേരു വെച്ചല്ല!). ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങള്‍ വായിക്കുമ്പോള്‍ മനസിലെത്തുന്ന ആശയങ്ങളുംകണ്ടെത്തലുകളും പുസ്തകത്തിന്റെ മാര്‍ജിനിലും മറ്റും കുറിച്ചിടുന്ന ശീലമായിരുന്ന ഫെര്‍മായുടേത്. ടയോഫാന്റസിന്റെ 'അരിത്‌മെറ്റിക്ക' (Arithmetica) വായിക്കുന്ന വേളയിലാണ് 'ഫെര്‍മായുടെ അവസാന തിയറം' എന്ന് പ്രശസ്തി നേടാന്‍ പോകുന്ന ആ ഗണിതപ്രശ്‌നം ഫെര്‍മ ആ പുസ്തകത്തിന്റെ മാര്‍ജിനില്‍ കുറിച്ചിട്ടത്. ഇക്കാര്യത്തില്‍ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പ്രൂഫ് താന്‍ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്, അതുപക്ഷേ ഈ മാര്‍ജിനിലെഴുതാന്‍ കഴിയുന്നതിലും വലുതാണ് എന്നും ഫെര്‍മ കുറിച്ചുവെച്ചു. അദ്ദേഹമത് ഒരിക്കലും വെളിപ്പെടുത്തിയില്ല. 

Leonhard Euler
ലിയോണ്‍ഹാഡ് ഓയ്‌ലര്‍. ചിത്രം
കടപ്പാട്: Wikimedia Commons

1665 ജനുവരി 12-ന് ഫെര്‍മാ അന്തരിച്ചു. പിതാവിന്റെ ഗണിതസംഭാവനകള്‍ ക്രോഡീകരിച്ചു പ്രസിദ്ധീകരിക്കാന്‍ ഫെര്‍മായുടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൂത്തമകന്‍ ക്ലെമന്റ്-സാമുവേല്‍ തീരുമാനിച്ചു. ഫെര്‍മായുടെ കുറിപ്പുകളും കത്തുകളും അതിലുള്ള കണ്ടെത്തലുകളുമെല്ലാം ക്രോഡീകരിക്കാന്‍ സാമുവേലിന് അഞ്ചുവര്‍ഷം അധ്വാനിക്കേണ്ടി വന്നു. അപ്പോഴാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഫെര്‍മാ നല്‍കിയ സംഭാവന എത്ര വലുതാണെന്ന് ഗണിതലോകം തിരിച്ചറിഞ്ഞത്. ഈ സംഭാവനകളില്‍ ഏറ്റവും വലിയ പ്രഹേളിക ആകാന്‍ പോകുന്ന ഗണിതപ്രശ്‌നമായിരുന്നു 'ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം'.

ഏതാണ്ട് 350 വര്‍ഷക്കാലം ഫെര്‍മയുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെടാതെ തുടര്‍ന്നു. അതിനിടെ, ചില മുന്നേറ്റങ്ങളുണ്ടായ കാര്യം വിസ്മരിക്കപ്പെട്ടുകൂടാ. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഓയ്‌ലര്‍ ആണ് ഇക്കാര്യത്തില്‍ ആദ്യമുന്നേറ്റം നടത്തിയത്. ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തത്തില്‍ n=3 ന് തെളിവ് കണ്ടെത്തുന്നതില്‍ യൂളര്‍ വിജയിച്ചു. യൂളര്‍ക്ക് ശേഷം ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞ സോഫി ജെര്‍മെയ്ന്‍ ആണ് അടുത്ത മുന്നേറ്റം നടത്തിയത്. ചില സവിശേഷതയുള്ള പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തില്‍ ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രൂഫ് ചെയ്യാന്‍ അവര്‍ക്കായി. 

അതിനു ശേഷമാണ് ഫ്രഞ്ച് അക്കാദമി ഓഫ് സയന്‍സസ്, ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം പൂര്‍ണമായി തെളിയിക്കുന്നവര്‍ക്ക് ഗോള്‍ഡ് മെഡലും 3000 ഫ്രാങ്കും സമ്മാനം പ്രഖ്യാപിച്ചത്. ആ വെല്ലുവിളി ഏറ്റെടുത്ത് ഗബ്രിയേല്‍ ലെയിം, അഗസ്റ്റിന്‍ ലൂയിസ് കേഷി എന്നിവര്‍ രംഗത്തു വന്നെങ്കിലും പ്രൂഫ് അവതരിപ്പിക്കാന്‍ അവര്‍ക്ക് കഴിഞ്ഞില്ല. ലെയിം, കേഷി എന്നിവരുടെ സമീപനം വായിച്ചറിഞ്ഞ ജര്‍മന്‍ ഗണിതപ്രതിഭ ഏണസ്റ്റ് കെമ്മര്‍ ഒരു പേപ്പര്‍ തയ്യാറാക്കി. അന്ന് നിലവിലുള്ള ഗണിത സമീപനങ്ങള്‍ക്ക് അപ്പുറത്താണ് ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രൂഫ് എന്നായിരുന്നു ആ പ്രബന്ധത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം. മരിക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ച രാത്രിയില്‍ പോള്‍ വള്‍സ്‌കീല്‍ വായിച്ച് പിഴവു കണ്ടെത്തിയത് ആ പ്രബന്ധമായിരുന്നു! 

Sohie Germain
സോഫി ജെര്‍മെയ്ന്‍ 

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തില്‍ അത്രവലിയ സമ്മാനത്തുക വള്‍സ്‌കീലിന്റെ വില്‍പ്പത്രത്തില്‍ പ്രഖ്യാപിച്ചെങ്കിലും, പിന്നെയും മുക്കാല്‍ നൂറ്റാണ്ട് വേണ്ടിവന്നു ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് പ്രൂഫ് കണ്ടെത്താന്‍. അതിന് ജാപ്പനീസ് ഗണിതപ്രതിഭ യുറ്റാക താനിയാമയ്ക്ക് അസാധാരണമായ ഒരു ഗണിതവെളിപാട് ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ടായിരുന്നു. ആന്‍ഡ്രൂ വൈല്‍സ് എന്ന ബ്രിട്ടീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്, താനിയാമയെ പിന്തുടര്‍ന്ന് ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാന്‍ ഏഴുവര്‍ഷം 'ഒളിവുജീവിതം' വേണ്ടിയിരുന്നു. അതിന്റെ ഭാഗമായി, പുതിയ ഗണിതആയുധങ്ങളും അസാധാരണമായ ഒട്ടേറെ കണ്ടെത്തലുകളും വൈല്‍സിന് നടത്തേണ്ടിയിരുന്നു. 

ഒടുവില്‍ 350 വര്‍ഷത്തിന് ശേഷം, 1995 മെയ് മാസത്തിലിറങ്ങിയ 'അനല്‍സ് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സ്' എന്ന ജേര്‍ണലില്‍ മൊത്തം 130 പേജ് വരുന്ന രണ്ടു സങ്കീര്‍ണ പ്രബന്ധങ്ങളായി ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് ലോകത്തിന് ലഭിച്ചു. ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തവുമായി തന്റെ പത്താം വയസ്സില്‍ ആന്‍ഡ്രൂ വൈല്‍സ് ആരംഭിച്ച 'പ്രണയ'ത്തിന്റെ ശുഭപര്യവസാനമായിരുന്നു ആ പ്രൂഫ്! അത് കണ്ടെത്തുക വഴി, ആധുനിക ഗണിതചരിത്രത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ മുന്നേറ്റങ്ങളിലൊന്നാണ് വൈല്‍സ് നടത്തിയത്. ആ മുന്നേറ്റം എങ്ങനെ സാധ്യമായി എന്നത് ഏത് ത്രില്ലറിനെയും അതിശയിപ്പിക്കുന്ന കഥയാണ്. അതറിയാന്‍ ലേഖനത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം കാണുക. 

* രണ്ടാം ഭാഗം: ഫെര്‍മായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തവും ജപ്പാനില്‍ നിന്നുള്ള വെളിപാടും 

* മൂന്നാം ഭാഗം: ഫെര്‍മായുടെ സിദ്ധാന്തത്തെ മെരുക്കാന്‍ ഏഴുവര്‍ഷത്തെ രഹസ്യജീവിതം! 

അവലംബം -

* Fermat's Last Theorem (2011). By Simon Singh. Harper Perennial, London (First published in 1997).
* Fermat's last theorem. MacTutor History of Mathematics archive.

* മാതൃഭൂമി നഗരം പേജില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്

Content Highlights: Fermat's Last Theorem, Andrew Wiles, Pierre de Fermat, History of Mathematics, Number Theory, Leonhard Euler, Paul Wolfskehl, Sohie Germain, Ernst Kummer