ഒരു വടക്കന്‍ സെല്‍ഫി സിനിമയില്‍ പരീക്ഷയുടെ തലേദിവസം നായകനും കൂട്ടുകാരും പഠിക്കുന്ന രംഗം ഓര്‍മയുണ്ടോ? Sin2 , Cos2 ഒക്കെയാണ് സംഭാഷണ വിഷയം. അപ്പോള്‍ നായകന്‍ ചോദിക്കുന്ന ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്.
''എനിക്ക് കുഞ്ഞുന്നാള്‍ മുതലുള്ള സംശയമാണ്, എന്താണീ തീറ്റ? ഞാന്‍ ആരോടും ചോദിച്ചിട്ടില്ലന്നേയുള്ളൂ''
അതെ, എന്താണീ തീറ്റ?
കണക്കില്‍ അളവുകള്‍ മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് ഇതിനെ പൊതുവായി പറയാന്‍ സൂചകങ്ങളാണ് കൂടുതല്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഗ്രീക്ക് അക്ഷരമാലയിലെ ഒരു അക്ഷരമാണ് . ത്രികോണത്തിലെ രണ്ടു വശങ്ങള്‍ക്കിടയിലുള്ള കോണിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാന്‍ സൂചകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നുമാത്രം. ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാറുന്നതിനനുസരിച്ച് തീറ്റയുടെ വില മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഒന്നു മുതല്‍ 89 വരെയായി അത് മാറാം. തീറ്റയുടെ വില പൂജ്യമായാല്‍ കര്‍ണം പാദവശത്തിന് സമാന്തരമായി മാറും. അതേപോലെ 90 ഡിഗ്രിയാകുമ്പോള്‍ എതിര്‍വശത്തിനു സമാന്തരമാകും. രണ്ടിലും ത്രികോണം നിലനില്‍ക്കില്ല.
മട്ടത്രികോണത്തെക്കുറിച്ച് (Right Triangle) അറിവുണ്ടാകും. ഏതെങ്കിലും ഒരു കോണ്‍ 90 ഡിഗ്രിയിലുള്ള (മട്ടകോണ്‍ - Right angle) ത്രികോണമാണിത്. മൂന്നു വശങ്ങളും മറ്റു രണ്ടു കോണുകളും കൂടി ഈ ത്രികോണത്തിനുണ്ട്. മട്ടകോണിന് എതിരായി കാണുന്ന നീളം കൂടിയ വശമാണ് കര്‍ണം (Hypotenuse). ഇനി ത്രികോണത്തിന്റെ പാദത്തോടു ചേര്‍ന്നുള്ള കോണ്‍ എടുക്കുക. ഇതിന്റെ അളവായി തീറ്റ () എന്നു നല്‍കാം. ഇതിന് അടുത്തുള്ള വശം (പാദം) സമീപവശവും (adjacent side) എതിരായുള്ളത് എതിര്‍വശവുമാണ് (Opposite side). ലംബം എന്നും പറയാറുണ്ട്. ഈ കോണുകളുടെയും വശങ്ങളുടെയും അളവുകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനാണ് സൈനും കോസും ടാനും എല്ലാം ഉപയോഗിക്കുന്നത്. തീറ്റ എന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്നത് കര്‍ണത്തിന്റെ ചരിവ് എത്രയെന്നു പറയാനും. ത്രികോണത്തില്‍നിന്ന് മാറി പ്രായോഗികതലത്തില്‍ വലിയ കെട്ടിടങ്ങളുടെയും പര്‍വതങ്ങളുടെയും മറ്റും ഉയരമളക്കാനും ഉപഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനനിര്‍ണയം നടത്താനും മറ്റുമാണ് ഇതുപയോഗിക്കുന്നത്.
Sine, Cosine, Tangent ഇവയുടെ ചുരുക്ക രൂപമാണ് സൈന്‍ (sin), കോസ് (cos), ടാന്‍ (tan) എന്നിവ. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഇതിലേക്കു കടക്കാം.
ഓലപ്പുരയും ഉത്തരവും കഴുക്കോലും
ഇന്നത്തെ കോണ്‍ക്രീറ്റ് വീടുകള്‍ക്ക് മുമ്പ് കൂടുതലും ഓലപ്പുരകളായിരുന്നു. വര്‍ഷംതോറും ഇതിലെ പഴയ ഓലകള്‍ മാറ്റി മേയണം. ആ സമയത്ത് കുട്ടികള്‍ പഴയ ഓല ഉപയോഗിച്ച് കളിവീടുണ്ടാക്കും.കളിവീടിന്റെ പ്രധാനഭാഗം മേല്‍ക്കൂരയാണ്. ത്രികോണ ആകൃതിയിലായിരിക്കുമത്. വശങ്ങളില്‍ രണ്ടു തൂണുകള്‍, നടുക്ക് മുകളിലേക്ക് തള്ളിനില്‍ക്കുന്ന വലിയ നടുത്തൂണ്‍. ഭൂമിക്ക് സമാന്തരമായി മേല്‍ക്കൂരയെ താങ്ങി ഉത്തരം.
നടുത്തൂണില്‍നിന്ന് വശങ്ങളിലെ തൂണുകളിലേക്ക് ചരിച്ചു വയ്ക്കുന്ന കഴുക്കോലുകള്‍. ഇതാണ് അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങള്‍.
ഉത്തരത്തിന്റെ പകുതിയും അതിനു മുകളിലേക്കുള്ള നടുത്തൂണിന്റെ ഭാഗവും ആ വശത്തെ കഴുക്കോലും ചേര്‍ന്നാല്‍ ഒരു മട്ടത്രികോണം കിട്ടും. ഉത്തരത്തിന്റെ ഭാഗത്തെ പാദം എന്നും തൂണിന്റെ ഭാഗത്തെ പൊക്കം എന്നും കഴുക്കോലിനെ ചാര് എന്നും വിളിക്കാം. പാദത്തിനും ചാരിനും ഇടയിലുള്ള കോണളവാണ് ചരിവ് (നമ്മുടെ തീറ്റ).ചാരിനാണ് നീളക്കൂടുതല്‍. പാദവും പൊക്കവും ചേരുന്ന ഭാഗത്തേത് മട്ടകോണ്‍. ചാരിന്റെ നീളം നിലനിര്‍ത്തി ചരിവ് കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്താല്‍ ഈ മട്ടകോണ്‍ മാറില്ല. ചരിവിന്റെ വ്യത്യാസമനുസരിച്ച് പാദത്തിന്റെയും പൊക്കത്തിന്റെയും നീളമാകും മാറുക.
ട്രിഗണോമെട്രി അഥവാ ത്രികോണമിതി
ഗ്രീക്ക് പദങ്ങളായ ട്രിഗണോണ്‍ (ത്രികോണം), മെട്രോണ്‍ (അളവ്) എന്നീ പദങ്ങളില്‍നിന്നാണ് ട്രിഗണോമെട്രി (ത്രികോണമിതി) എന്ന വാക്ക് ഉണ്ടായത്. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും കോണുകളും അവയുടെ അളവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയാണിത്.
ബി.സി. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ വാനനിരീക്ഷണത്തില്‍ നക്ഷത്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരമളക്കാനും കലണ്ടര്‍ ഉണ്ടാക്കുന്നതിനും യാത്രകളില്‍ ദിശാനിര്‍ണയത്തിനും മറ്റും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ക്ഷേത്രഗണിതമാണ് (Geometry) ആദ്യം ആവിര്‍ഭവിച്ചത്. അതിന്റെ ഭാഗമായാണ് ത്രികോണമിതി വന്നത്.
ഇതില്‍നിന്ന് എന്തെല്ലാം മനസ്സിലാക്കാം
• ചരിവ് കുറവാണെങ്കില്‍ പൊക്കവും കുറവായിരിക്കും. അപ്പോള്‍ പാദത്തിന്റെ നീളം ചാരിന്റെ നീളത്തോട് അടുത്തായിരിക്കും.
• ചരിവ് പൂജ്യമായാല്‍ പൊക്കവും പൂജ്യമായിരിക്കും. കൂര ഉണ്ടാകില്ല.
• ചരിവ് കൂടി വന്നാല്‍ പൊക്കവും കൂടും. പാദം കുറഞ്ഞുവരും.
• ചരിവ് 90 ഡിഗ്രിയായാല്‍ പാദം പൂജ്യമാകും. കൂര ഉണ്ടാകുന്നില്ല.
• ചരിവ് 45 ഡിഗ്രി ആയാല്‍ പാദവും പൊക്കവും തുല്യമായി വരും.
• ചാരിന്റെ ചെരിവ് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നതിനനുസരിച്ച് പാദവും പൊക്കവും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഇതനുസരിച്ചാണ് ഉത്തരത്തിന്റെയും കഴുക്കോലിന്റെയും നീളം കണക്കാക്കി ആദ്യം തന്നെ മുറിച്ച് ശരിപ്പെടുത്തുന്നത്.
ഈ കെട്ടിടത്തിലെവിടെ സൈനും കോസും
ചരിവിലെ വ്യത്യാസമനുസരിച്ച് പാദത്തിന്റെയും പൊക്കത്തിന്റെയും മാറിവരുന്ന അളവുകള്‍ കണ്ടെത്താനുള്ള എളുപ്പവഴികളാണ് സൈനും കോസും ടാനും എല്ലാം
വ്യത്യസ്ത ചരിവളവുകളില്‍ ചാരിന്റെ എത്രഭാഗമായിരിക്കും പൊക്കമെന്നതാണ് സൈന്‍. അതായത് പൊക്കത്തിനെ ചാരുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന വില.
സൈന്‍
സൈന്‍ = പൊക്കം/ചാര് = എതിര്‍വശം / കര്‍ണം
പൊക്കത്തിന്റെ എത്രഭാഗമാണ് പാദമെന്നത് കോസ്. അതായത് പാദത്തെ ചാരുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന വില.
കോസ്
കോസ് = പാദം/ ചാര് = സമീപവശം/ കര്‍ണം
പൊക്കത്തിന്റെ എത്രഭാഗമാണ് പാദം എന്നത് ടാന്‍. കോസിനെ പിടിച്ച് സൈനിന്റെ അടിയിലിട്ടാല്‍ മതി. അതായത് എതിര്‍വശത്തെ (പൊക്കം) സമീപവശം (പാദം) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്നത്.
ടാന്‍
ടാന്‍ = സൈന്‍/ കോസ് = എതിര്‍വശം/ സമീപവശം
ഉപയോഗ മേഖലകള്‍
സംഗീതം
ആശ്ചര്യപ്പെടേണ്ട. കംപ്യൂട്ടര്‍ നിര്‍മിത സംഗീതത്തില്‍ അറിഞ്ഞോ അറിയാതെയോ ത്രികോണമിതി ഫലപ്രദമായി ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. ശബ്ദം തരംഗങ്ങളായാണ് സഞ്ചരിക്കുന്നതെന്നറിയാം. കംപ്യൂട്ടറുകള്‍ക്ക് ശബ്ദം കേള്‍ക്കാനോ ആസ്വദിക്കാനോ കഴിയില്ല. നമ്മള്‍ നല്‍കുന്ന വിവരങ്ങള്‍വെച്ച് അവ ശ്രുതികള്‍ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായാണ് ഈ സംഗീതതരംഗങ്ങള്‍ കംപ്യൂട്ടറില്‍ സൃഷ്ടിക്കുക.
ഉയരം അളക്കാന്‍
കെട്ടിടങ്ങളുടെയോ പര്‍വതങ്ങളുടെയോ ഉയരം അളക്കാന്‍ ത്രികോണമിതിയിലൂടെ എളുപ്പത്തില്‍ കഴിയും. കെട്ടിടത്തിലേക്ക് നമ്മള്‍ നില്‍ക്കുന്നിടത്തുനിന്നുള്ള ദൂരവും വീക്ഷണകോണും (angle of elevation) അറിയാമെങ്കില്‍ ഇത് കണക്കുകൂട്ടിയെടുക്കാം. ഇതേരീതിയില്‍ പര്‍വതത്തിന്റെ മുകളില്‍നിന്ന് താഴെ ചുവട്ടില്‍നിന്ന് ദൂരെയുള്ള വസ്തുവിന്റെ ഉയരവും കണക്കാക്കാം.
വീഡിയോ ഗെയിം
മാരിയോ വീഡിയോ ഗെയിം കളിച്ചിട്ടുണ്ടോ? റോഡ് ബ്ലോക്കിലൂടെയും മറ്റും എളുപ്പത്തില്‍ മാരിയോ കടന്നുപോകുന്നതു കണ്ടിട്ടില്ലേ. തടസ്സങ്ങള്‍ കടക്കാന്‍ നേരേ മുകളിലേക്കല്ല മാരിയോ ചാടുന്നത്. പരാബോളയുടെ രൂപത്തില്‍ വളഞ്ഞ പാതയിലാണ്. ഇത്തരത്തില്‍ ഉയരവും ദിശയും എല്ലാം നിര്‍ണയിക്കുന്നതിന് ഗെയിമിങ് എന്‍ജിനീയര്‍മാര്‍ പ്രയോജനപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത് ത്രികോണമിതിയിലെ സമവാക്യങ്ങള്‍തന്നെ.
നിര്‍മാണ മേഖലയില്‍
നിര്‍മാണ മേഖലയില്‍ വ്യാപകമായി ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. സ്ഥലം അളക്കാനും ഭിത്തികെട്ടുന്നതിനും മേല്‍ക്കൂരയുടെ ചെരിവ് കണക്കാക്കുന്നതിനും എല്ലാം ഇത് പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നു
ഫ്‌ലൈറ്റ് എന്‍ജിനീയറിങ്
വിമാനങ്ങളുടെ സ്ഥാനനിര്‍ണയത്തിനും കാറ്റിന്റെ ദിശയും വേഗവും നോക്കി വിമാനത്തിന്റെ ദിശ, വേഗം എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിനും മറ്റും ത്രികോണമിതിയാണ് സഹായിക്കുന്നത്.
ക്രിമിനോളജി
ഒരു സി.ബി.ഐ. ഡയറിക്കുറിപ്പ് സിനിമയില്‍ ഡമ്മി മുകളില്‍നിന്ന് താഴേക്കിട്ട് കേസ് തെളിയിക്കുന്നത് കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? ഇതില്‍ മുകളില്‍നിന്നു വീഴുന്ന വസ്തു താഴെ എത്ര ദൂരത്തില്‍ എങ്ങനെ പതിക്കുന്നുവെന്ന് കണക്കാക്കുന്നതിന് ത്രികോണമിതിയാണ് ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്. വാഹനാപകടത്തിന്റെ സ്വഭാവം നിര്‍ണയിക്കുന്നതിനും ഇത് സഹായിക്കുന്നു.
മറൈന്‍ ബയോളജി/ എന്‍ജിനീയറിങ്
സമുദ്രത്തിലെ ആഴങ്ങളില്‍ പ്രകാശം പതിക്കുന്നതിന്റെ തീവ്രത അളക്കാനും സമുദ്ര ജീവികളുടെ സ്ഥാനനിര്‍ണയത്തിനും അവയുടെ സ്വഭാവം വിലയിരുത്താനുമെല്ലാം മറൈന്‍ ബയോളജിയില്‍ ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. കപ്പലുകള്‍ നിര്‍മിക്കുന്നതിനും സമുദ്രത്തില്‍ അതിന്റെ സഞ്ചാരപഥം നിര്‍ണയിക്കുന്നതിനും അന്തര്‍വാഹിനികളുടെ ദൂരവും ദിശയും സ്ഥാനവും നിര്‍ണയിക്കുന്നതിനും മറ്റും ഇത് നിര്‍ണായകമാണ്.
യുദ്ധമേഖലയില്‍ മിസൈല്‍ വിക്ഷേപണവും ബോംബിടുന്നതും മറ്റും ലക്ഷ്യം മുന്‍കൂട്ടി കണക്കുകൂട്ടിയാണ്. ഇതിനു സഹായിക്കുന്നതും ത്രികോണമിതി തന്നെ.
ഓഷ്യാനോഗ്രഫിയില്‍ തിരമാലകളുടെ ഉയരം അളക്കാന്‍, ആര്‍ക്കിയോളജിയില്‍ സ്ഥലം കൃത്യമായി തിരിക്കാനും ആഴം അളക്കാനും, മാപ്പു നിര്‍മാണം, ഉപഗ്രഹ നിര്‍മാണവും വിന്യാസവും, ഫിസിക്സില്‍ തരംഗങ്ങളുടെ സ്വഭാവം പഠിക്കുന്നതടക്കം വിവിധ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ക്കും മറ്റുമായി ഒരുപിടി മേഖലകളില്‍ ത്രികോണമിതി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.
